Le triangle de Pascal

Le triangle de Pascal tient son nom au fait que Blaise Pascal soit l'auteur d'un traité à son sujet, le Traité du triangle arithmétique (1654). Cependant, il était déjà connu des mathématiciens arabes du X^e siècle et l'on retrouve sa trace en Chine au XI^e siècle : il apparaît dans le Miroir de jade des quatre éléments de Zhu Shijie en 1303.

Le triangle permet la visualisation des coefficients binomiaux sous la forme d'un triangle. De quoi s'agit-il ? Tout simplement de définir le nombre de groupes composés de p éléments que l'on peut former dans un ensemble total de n éléments. Il s'agit de combinaisons et non d'arrangements : l'ordre n'intervient pas (AB = BA).

La construction — la Tri-Unité originelle. Elle consiste à placer une tri-unité au sommet d'un triangle : les extrémités des lignes sont toujours constituées de 1, et chaque autre nombre est la somme des deux nombres directement au-dessus de lui : 2 = 1 + 1 ; 3 = 1 + 2 ; etc.

Les nombres triangulaires marquent la première étape de la logique combinatoire, en commençant par le dénombrement des relations deux à deux — entre deux points, deux mots ou deux personnes pris dans un groupe de n éléments.

Entre deux personnes, il n'existe qu'une possibilité de former un « couple », d'établir un lien. Parmi trois personnes, il existe 3 cas de figure : ab, ac et bc. Dans un groupe de quatre personnes, le nombre de combinaisons s'élève à 6 : ab, ac, ad, bc, bd et cd.

Le nombre 1 représente la ligne tracée entre deux points (a et b) ; le nombre 3, le nombre de lignes qu'il est possible de tracer dans un ensemble de trois éléments (le triangle abc) ; le nombre 6, le nombre de lignes que l'on peut établir dans un ensemble de 4 éléments (le carré abcd) ; etc.

L'évolution du triangle dans les dimensions supérieures. Chaque diagonale du triangle correspond à une famille de nombres figurés : la deuxième diagonale porte les nombres entiers, qui additionnés donnent les triangulaires 2D, qui additionnés donnent les tétraédriques 3D, qui additionnés donnent les hyper tétraédriques 4D, qui additionnés donnent les étoilés tétraédriques 5D, etc.

La disposition matricielle. Chaque nombre du tableau correspond à l'addition des nombres situés directement à gauche et au-dessus de lui : le nombre 20 (Tetra 3D) s'obtient par 10 + 10 ; le nombre 28 (Tria 2D) par 21 + 7 ; etc. Les données sont symétriques de part et d'autre de la diagonale 1, 2, 6, 20, 70…

Principe de géométrie combinatoire — les colonnes indiquent le type d'élément présent dans le système. Colonne n°1 : les nombres entiers correspondent au nombre de points présents dans un ensemble de n éléments. Colonne n°2 : les triangulaires correspondent au nombre de lignes — 1 ligne dans une ligne, 3 dans un triangle, 6 dans un carré. Colonne n°3 : les tétraédriques correspondent au nombre de triangles qu'il est possible de tracer — 1 dans un triangle (G3), 4 dans un tétraèdre ou un carré (G4), 10 dans un pentagramme (G5).

Les lignes donnent le total des parties du système. Ligne n°1 : dans un groupe d'un seul élément, 2 possibilités — 1 point, ou rien (∅). Ligne n°2 : dans un groupe de 2 éléments, 4 possibilités — 2 points, 1 ligne, ou rien. Ligne n°3 : dans un groupe de 3 éléments, 8 possibilités — 3 points, 3 lignes, 1 triangle, ou rien. Etc.

Les nombres 1, 6, 21, 56. Les nombres tétraédriques de 5D — 1, 6, 21, 56… — correspondent aux nombres de combinaisons uniques d'un jeu comportant n dés : avec un seul dé, 6 possibilités ; avec deux dés, 36 arrangements pour 21 combinaisons uniques ; avec trois dés, 216 arrangements pour 56 combinaisons uniques, une fois retirés les doublons (⚀⚁ = ⚁⚀).

Vous remarquerez que les nombres 21 et 56 sont également le nombre d'arcanes majeurs et d'arcanes mineurs du Tarot de Marseille.

Si l'on additionne les nombres de chaque ligne — soit l'ensemble des combinaisons possibles dans un ensemble à n éléments — la progression forme la série des puissances de 2 : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, etc.

Cette suite, dont les quatre premiers termes appartiennent à la matrice archétype (1, 2, 4, 8) ainsi qu'à l'Âme du Monde, est reliée aux phénomènes ondulatoires, caractéristiques de l'Homme. Sa progression correspond en tout point aux ramifications de l'arbre généalogique, de même qu'au processus de division cellulaire.

Les nombres 153 et 666 sont respectivement les 17^e et 36^e nombres triangulaires. D'après le principe combinatoire, ils représentent également le nombre de couples, lignes ou relations binaires qu'il est possible de former dans un ensemble de 18 éléments (153) et de 37 éléments (666).

« Simon Pierre monta dans la barque, et tira à terre le filet plein de cent cinquante-trois grands poissons ; et quoiqu'il y en eût tant, le filet ne se rompit point. »— Jean 21, 11

Le mot filet, du latin rete, signifie aussi maillage, réseau — il a donné le terme de réticulation pour définir les structures en réseau. Pour comprendre l'énigme des 153 poissons ou du nombre de la Bête, ce n'est pas au rang (17 et 36) qu'il faut s'intéresser, mais bien aux nombres qui génèrent les « connexions divines » : 18 et 37.

« C'est ici la sagesse. Que celui qui a de l'intelligence calcule le nombre de la bête. Car c'est un nombre d'homme, et son nombre est six cent soixante-six. »— Apocalypse de Jean 13, 18

Il existe donc bien une manière spécifique de compter dans la Bible — sinon pourquoi serait-il écrit « calcule le nombre » ? Rédigée en hébreu puis en grec, deux langues où les lettres figurent les nombres, la Bible est un document écrit avec des nombres.

Qui a inventé le triangle de Pascal ?

Pascal lui a consacré son Traité du triangle arithmétique (1654), mais il était connu des mathématiciens arabes du X^e siècle et figure chez Zhu Shijie en Chine dès 1303.

Que calculent les coefficients binomiaux ?

Le nombre de groupes de p éléments que l'on peut former dans un ensemble de n éléments — des combinaisons, où l'ordre n'intervient pas.

Quel lien avec le jeu de dés et le Tarot ?

Les combinaisons uniques à 1, 2, 3 dés — 6, 21, 56 — sont les étoilés tétraédriques de 5D : les nombres mêmes des arcanes du Tarot de Marseille.

Que donne la somme de chaque ligne ?

Les puissances de 2 : 1, 2, 4, 8, 16… — l'ensemble des parties d'un ensemble à n éléments, le Tout et ses parties, jusqu'aux 256 de la matrice.