Les Nombres Hyper-Tétraédriques

Le principe à la base de la visualisation des nombres de l'hyperdimension est de partir de la figure de dimension inférieure comme figure mère pour élaborer la figure de dimension supérieure :

Les hyper-tétraédriques de 4D s'obtiennent par addition des nombres tétraédriques : 1 = 1 ; 5 = 1 + 4 ; 15 = 1 + 4 + 10 ; 35 = 1 + 4 + 10 + 20 ; etc.

Les TetraStar de 5D s'obtiennent à leur tour par addition des hyper-tétraédriques de 4D : 1 = 1 ; 6 = 1 + 5 ; 21 = 1 + 5 + 15 ; 56 = 1 + 5 + 15 + 35 ; etc.

Les figures à partir de la 4D étant des figures en mouvement — car impliquant la notion de temps —, il n'est pas aisé de figer la figure à un temps t : les visualisations proposées pour la 5D pourraient également s'appliquer à la 4D.

Afin de visualiser le triangle dans les dimensions supérieures, nous devons avoir recours à une projection de l'objet à n dimensions dans une dimension inférieure (2D ou 3D).

En mathématiques, le terme utilisé pour caractériser l'évolution du triangle en n dimensions est le simplexe : un n-simplexe est l'analogue à n dimensions du triangle. Sachant qu'un n-simplexe possède n sommets, on peut se baser sur la visualisation des nombres à l'aide de points qui serviront de sommets.

Le pentagramme et l'hexagramme sont bien des « ombres » ou projections en 2D d'objets respectivement de quatrième (4D) et cinquième dimension (5D).

Ensuite, comme l'a démontré Ludwig Schläfli, il n'existe pas plus de 3 polytopes réguliers par dimension, et cela dès la cinquième. Ces trois n-polytopes réguliers appartiennent respectivement à trois grandes familles : les n-simplexes (ou hyper-tétraèdres), les hyperoctaèdres et les hypercubes.

Les nombres tétraédriques de 5D correspondent aux probabilités uniques respectivement obtenues avec un dé, 2 dés, 3 dés, etc.

Là où l'œil ne voit qu'un lancer de dés, la série TetraStar compte les possibles : la 5^e dimension du triangle est aussi la mathématique du hasard apprivoisé. Accéder à la section correspondante.

Ces mêmes nombres comptent les groupes de 5 éléments — les pentagrammes — qu'il est possible de former dans un ensemble à n éléments : on ne peut tracer qu'un seul pentagramme dans un pentagramme, 6 dans un hexagramme, 21 dans un ensemble de 7 points. La combinatoire du triangle de Pascal et la géométrie de l'hyperespace disent la même chose en deux langues.

Comment se construisent les deux séries ?

Par addition en cascade : les 4D (1, 5, 15, 35) additionnent les tétraédriques ; les 5D (1, 6, 21, 56) additionnent les 4D. Le principe est constant : la figure de dimension inférieure sert de figure mère à la suivante.

Qu'est-ce qu'un simplexe ?

L'analogue du triangle en n dimensions : segment (1D), triangle (2D), tétraèdre (3D), hyper-tétraèdre (4D)… Un n-simplexe possède n sommets, ce qui permet de le visualiser par points.

Pourquoi le pentagramme est-il une figure de 4D ?

Parce qu'il est l'ombre en 2D du 4-simplexe à 5 sommets — comme l'hexagramme est la projection du 5-simplexe à 6 sommets. Schläfli a démontré qu'au-delà, il n'existe que 3 polytopes réguliers par dimension : simplexes, hyperoctaèdres, hypercubes.

Quel lien avec le jeu de dés ?

Les TetraStar de 5D comptent les probabilités uniques obtenues avec 1, 2, 3… dés — et les groupes de 5 éléments formables parmi n. Combinatoire, hasard et hyperespace se rejoignent dans la même série.