Les Nombres Polygonaux

Les nombres entiers forment une suite infinie de raison 1 — 1, 2, 3, 4, 5, 6… — puisque chaque terme s'obtient en ajoutant le nombre 1 au précédent. Les nombres impairs forment une suite de raison 2 : 1, 3, 5, 7, 9… La suite de raison 3 s'obtient en ajoutant successivement le nombre 3 : 1, 4, 7, 10…

Les familles polygonales classiques — pentagone, hexagone, octogone — ont leur axe de symétrie au sommet de la figure et non au centre. Arturo Reghini dit de ces familles, dans Les nombres sacrés, qu'elles ne sont pas isotropiques, à savoir « que les propriétés ne sont plus identiques quelle que soit la direction d'observation ». Leur étude relève plus d'une approche polygonale que d'une logique arithmétique.

Seules nous intéressent les familles de nombres figurés bénéficiant d'un caractère isotropique dans leur progression, à travers un axe de symétrie situé au centre de la figure. Ainsi il est possible de comparer toutes les figures selon le même référentiel spatial, la même grille de construction. Seule cette condition permet de visualiser correctement la genèse des nombres dans le temps et leurs interactions dans l'espace.

« La géométrie était avant la création des choses, éternelle comme le Divin Esprit ; bien plus, elle est Dieu, et c'est elle qui lui a donné les clefs pour la création du monde. »— Johannes Kepler, Harmonices mundi

La décomposition arithmétique permet de visualiser chaque nombre en fonction des unités qui le composent :

Le nombre 1, symbolisé par un point, donne naissance à la ligne par duplication : 2 = 1 + 1. Le point et la ligne donnent naissance au triangle, ou nombre 3 : 3 = 1 + 2. Le nombre 4, duplication de la ligne (4 = 2 + 2), produit le carré ou tétragone ; il est aussi le premier volume, avec le tétraèdre de 3D : 4 = 1 + 3.

Le nombre 5 est souvent symbolisé par le pentagone ; il a également une représentation en 3D à travers la pyramide à base carrée vue de haut (1 + 4 = 5), et figure le premier nombre de quatrième dimension. Le nombre 6 provient de la duplication du triangle et de son retournement à 180° (3 + 3 = 6), formant l'hexagone ou l'hexagramme.

Le nombre 7 figure un hexagone centré : 7 = 1 + 6 — six triangles équilatéraux reliés au centre par leurs sommets. Le nombre 8 provient soit de la duplication du carré (8 = 4 + 4), formant l'octogone, soit, sous sa forme 1 + 7, du cube de 3D — le huitième point étant au centre, à l'arrière-plan. Le nombre 9 correspond à l'ennéagramme, polygone à 9 côtés ; il figure aussi un nombre carré (9 = 3 + 6) et un volume de quatrième dimension.

La construction des nombres figurés sélectionnés dans la section suivante dispose toujours d'un axe de symétrie central : ils peuvent tous être visualisés soit à l'aide de points, soit à l'aide de l'une des trois figures mères. Les nombres triangulaires, par exemple, se représentent soit par des points, soit par des triangles.

En procédant par itération — chaque famille naissant de l'addition de la précédente —, il devient possible de visualiser les nombres dans des dimensions supérieures : la 4D et au-delà.

Chaque itération ajoute une dimension de complexité, montrant comment figures et nombres se projettent et interagissent dans l'hyperespace.

C'est là tout l'enjeu de la vision isotropique : elle n'est pas une coquetterie de géomètre, mais la condition d'une perspective multidimensionnelle — la seule qui permette de suivre la genèse du nombre du point jusqu'à l'hypervolume, sans jamais changer de grille.

Qu'est-ce qu'un nombre polygonal ?

Un nombre obtenu en additionnant une suite arithmétique : raison 1 pour les triangulaires (1, 3, 6, 10), raison 2 pour les carrés (1, 4, 9, 16), raison 3 pour les pentagonaux (1, 5, 12, 22). Chaque famille dessine le polygone dont elle porte le nom.

Que signifie « isotropique » ?

Que les propriétés de la figure sont identiques quelle que soit la direction d'observation (Reghini). C'est le cas des familles à axe de symétrie central — et non des polygones à symétrie sommitale comme le pentagone ou l'octogone.

Pourquoi écarter pentagone, hexagone et octogone ?

Parce que leur axe de symétrie est au sommet : leur étude relève de l'approche polygonale — le système des 22 polygones du cercle — et non d'une logique arithmétique. Sans grille centrée commune, impossible de comparer les figures entre elles.

Attention au décalage d'un rang

Si l'on prend le point aux intersections comme unité de mesure au lieu du triangle, les visuels correspondent aux nombres 3, 6, 10, 15 — et non plus 1, 3, 6, 10. Le choix de l'unité de mesure décale toute la lecture d'un rang.